Ciencia al desnudo

Esta entrada es bastante abstracta; además, ten en cuenta que, sin utilizar fórmulas, no puedo demostrar resultados exactos. Recuerda que el objetivo de esta serie no es convencerte de que los efectos relativistas tienen un valor u otro, sino que las cosas “raras” que ocurren en relatividad son una consecuencia necesaria de los postulados de Einstein.

En primer lugar, si has entendido las entradas anteriores, espero que veas inmediatamente que la suma de velocidades “intuitiva” (newtoniana) es absolutamente incompatible con la relatividad.

La teoría clásica (newtoniana), que es la que damos por sentado intuitivamente, dice lo siguiente: supongamos que nuestros observadores, Ana y Alberto, se encuentran, como siempre, en el espacio, lejos de cualquier punto de referencia e influencia exterior. Y supongamos que Alberto se aleja de Ana a 200.000 km/s, y que tiene una naranja en la mano.

En un momento dado, Alberto lanza la naranja hacia delante con lo que a él le parecen 200.000 km/s. Si preguntamos a Newton, ¿qué velocidad mide Ana que tiene la naranja? su respuesta sería, indudablemente, 400.000 km/s: los 200.000 de la naranja alejándose de Alberto más los 200.000 de Alberto alejándose de Ana.

De hecho, supongamos que Alberto tiene una linterna en la mano y la apunta en sentido contrario a Ana. Según Newton, puesto que la luz de la linterna respecto a Alberto es de 300.000 km/s, Ana vería a la luz alejarse de ella a 500.000 km/s.

Tanto la primera como la segunda conclusión son total y absolutamente incompatibles con todo lo que hemos obtenido hasta ahora a partir de los postulados de Einstein: la primera haría que, en el sistema de referencia de Ana, la naranja tuviera más velocidad que la luz, lo cual vimos que es imposible en la entrada anterior; la segunda haría que un observador (Ana) midiera una velocidad de la luz distinta de 300.000 km/s, lo cual contradice el segundo postulado.

De modo que la idea intuitiva de, simplemente, sumar las velocidades, es falsa si aceptamos los postulados de Einstein. Y, por supuesto, la clave de la cuestión está en cómo podemos comparar lo que ve cada uno cuando sus conceptos de tiempo, distancia y simultaneidad son diferentes.

Aquí es donde ampliamos nuestro estudio de qué le ocurre al tiempo de un observador que se mueve respecto a otro. En la entrada acerca de la dilatación del tiempo ya pusimos de manifiesto el “ralentizamiento” que mide un observador cuando algo se mueve rápido respecto a él. Pero en ese caso, si recuerdas, el rayo de luz que iba de espejo a espejo se movía perpendicularmente a la dirección de movimiento de un observador respecto a otro, y justo cuando un observador pasaba junto al otro, y esto es importante.

Veamos hoy qué le ocurre al tiempo cuando un observador se aleja directamente del otro, porque ocurren cosas aún más raras: vamos a hablar del efecto Doppler.

Supongamos que Ana y Alberto realizan el siguiente experimento: Alberto se aleja de Ana a 150.000 km/s y lanza una naranja hacia delante con lo que a él parecen 150.000 km/s. Como hemos dicho antes, es seguro que Ana no mide una velocidad de la naranja respecto a ella de 300.000 km/s, sino más pequeña, porque si no se incumplen los postulados.

La cuestión aquí es: ¿cómo puede Alberto comunicar a Ana la velocidad de la naranja respecto a sí mismo? Al tener en cuenta la relatividad debemos, como en el caso del reloj de espejos, especificar cómo se transmite la información.

Supongamos que Alberto tiene una linterna. Cada segundo, lanza un destello de linterna hacia Ana, para que ella sepa cómo está pasando el tiempo para él. Si Alberto se mueve a 150.000 km/s, Ana no va a ver un destello cada segundo. ¿Por qué? Porque cada destello que lanza Alberto va a tener que recorrer una distancia mayor que el anterior.

Si no tenemos en cuenta efectos relativistas, esto significa que cada destello (que se produce cada segundo) tiene que recorrer 150.000 km más que el anterior (la distancia que Alberto se mueve en un segundo), de modo que tarda 0.5 segundos “de más” respecto al anterior. De modo que Ana observa destellos, no cada segundo, sino cada 1.5 segundos. Este ralentizamiento se denomina efecto Doppler, y es lo que hace que cuando oyes la sirena de una ambulancia que se aleja de ti, parece más grave (porque el sonido tiene una frecuencia menor), y al revés si se acerca a ti.

En mecánica newtoniana no importa, porque el tiempo es el que es (el mismo) para todos los observadores, pero en mecánica relativista sí: los observadores deben comunicarse unos a otros el tiempo que están midiendo. Ana y Alberto no miden el tiempo al mismo ritmo - Ana recibe la información ralentizada, de modo que cualquier cosa que mida Alberto (por ejemplo, la velocidad de la naranja) va a ser diferente para Ana.

Además, hay que tener en cuenta la dilatación del tiempo de la que ya hablamos, que hace que Ana vea a Alberto aún más ralentizado: de hecho, cuando Alberto se aleja de Ana, el ralentizamiento del tiempo que ve ella es aún mayor que cuando se mueve perpendicularmente (cuando pasa por delante de ella). No vamos a entrar en fórmulas, pero Ana vería los destellos de Alberto cada 1.73 segundos. De manera que, cuanto más rápido vaya Alberto, más diferentes son las medidas de la velocidad de la naranja para uno y otro.

Y además de eso, hay que tener en cuenta la contracción de la longitud: cuando Alberto lanza la naranja, él ve que recorre una determinada distancia, pero Ana ve que recorre una distancia más pequeña, porque cualquier medida de longitud del sistema de referencia de Alberto ella la ve “achatada”.

De hecho, si Alberto se mueve muy cerca de la velocidad de la luz, aunque mida una velocidad muy grande para la naranja respecto a sí mismo, Ana medirá una velocidad mucho más pequeña, porque el tiempo de Alberto para ella estará pasando muy, muy despacio y la distancia que ha recorrido la naranja es muy, muy corta, de modo que la velocidad de la naranja respecto a ella nunca alcance la de la luz.

Dicho de otra manera: si Alberto se aleja de Ana a una velocidad muy parecida a la de la luz y lanza una naranja en la dirección de su movimiento respecto a Ana, como todo lo que mide Alberto está en cámara súper-lenta para Ana y además la longitud que ha recorrido la naranja es más pequeña respecto a ella por la contracción de la longitud, la naranja (vista desde Ana) se aleja de Alberto muy, muy lentamente. Tan lentamente que, al sumar la velocidad de Alberto respecto a ella y de la naranja respecto a Alberto, es más pequeña que la de la luz.

Pero aquí hay algo más interesante: ¿qué pasa si Alberto se está acercando a Ana en vez de alejarse? Entonces, el efecto Doppler se invierte: como cada destello de luz tiene que recorrer menos distancia que el anterior, Ana ve los destellos más cerca unos de otros (sin tener en cuenta la dilatación del tiempo, sería cada 0.5 segundos)…¡el tiempo de Alberto pasa más deprisa! También hay que tener en cuenta la dilatación del tiempo, por supuesto, de modo que Ana vería los destellos, considerando el efecto Doppler relativista, cada 0.577 segundos.

Esto es algo que a veces no se menciona, y la gente piensa que el tiempo aparente de un sistema que se mueve respecto a ti es siempre más lento (de hecho, yo no lo mencioné en el primer artículo para no liar las cosas, de ahí que el movimiento de los rayos fuera perpendicular al movimiento de los observadores). Pero su tiempo va más rápido cuando se acerca a ti, y más lento cuando se aleja de ti; aunque en ambos casos la dilatación del tiempo se aplica (fíjate que los destellos que ve Ana son cada 1.73 en vez de 1.5 segundos, y cada 0.577 en vez de cada 0.5 segundos). Hay que tener en cuenta ambas cosas: la dilatación del tiempo “básica” y el efecto Doppler relativista.

Podrías pensar que esto hace que si Alberto se mueve hacia Ana muy rápido (de modo que ella vea el tiempo de Alberto muy “acelerado”) y él lanza la naranja hacia ella muy rápido, la velocidad de la naranja respecto a Ana será mayor que la de la luz. Sin embargo (sin usar fórmulas), los efectos de dilatación del tiempo y de contracción de la longitud son suficientes para que esto no llegue a pasar.

Tendrás que creerme si te digo que, teniendo en cuenta el efecto Doppler relativista, un objeto que se mueve a la velocidad de la luz se mueve a esa velocidad respecto a cualquier observador, y que no es posible que un objeto que no se mueve a la velocidad de la luz en un sistema de referencia lo haga en cualquier otro. No vamos a dar aquí la fórmula relativista de adición de velocidades, pero básicamente cuanto más rápido se mueve un observador respecto a otro, más diferentes son las medidas de velocidad de ambos de manera que, al final, no se rompe la velocidad de la luz.

En la próxima entrada de la serie, si aún no te da vueltas la cabeza, empezaremos a atacar algunas de las “paradojas relativistas”. De hecho, lo haremos con una relativamente sencilla, la del corredor y el granero, antes de estudiar una bastante más compleja (la de los gemelos).

Basado en una serie análoga de El Tamiz

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En primer lugar y,antes de empezar, una aclaración: estrictamente, lo que sucede cuando algo se mueve muy rápido es que su momento lineal (cantidad de movimiento) sigue una fórmula que no es la newtoniana sino la relativista. Sin embargo, esta fórmula es la misma que sería si usamos el concepto newtoniano de cantidad de movimiento pero la masa del objeto varía. Lo digo porque algún físico puede disgustarse oyéndonos hablar del “aumento de masa”, pero como nadie en la vida normal trata con el momento lineal y sí con la masa, y el efecto es el mismo, prefiero seguir hablando de “masa relativista” y “aumento de masa”, aunque no sea estrictamente correcto hablar en esos términos.

Dicho esto, si estás preparado y con la mente clara, empecemos a realizar nuestros experimentos mentales con Ana y Alberto, nuestros “observadores ficticios”, para ver cómo extraemos conclusiones de lo que ven el uno y el otro cuando se mueven muy rápido uno respecto al otro. En el experimento de hoy, tanto Ana como Alberto tienen en las manos una pelota pesada cada uno (ambas idénticas).
Como en ocasiones anteriores, supongamos que Ana y Alberto se encuentran en el vacío, lejos de cualquier otro cuerpo, y que se mueven el uno respecto al otro a gran velocidad. Pongamos que se acercan el uno al otro en trayectorias paralelas como se muestra en el dibujo:

En un momento dado, ambos lanzan la bola que tienen en las manos perpendicularmente a la dirección de movimiento respecto al otro. Como cada uno de ellos ve moverse al otro (y se considera en reposo), lanza la bola perpendicularmente a la trayectoria del otro (perpendicularmente visto desde su sistema de referencia, oblícuamente visto por el otro). Y supongamos que ambos (que son muy listos) lanzan la bola en el momento justo para que choquen en el punto medio entre ambos cuando pasan uno junto al otro y les vuelva a las manos. Para que ocurra esto, deben lanzar la bola con la misma velocidad respecto de cada uno, de modo que todo sea simétrico:

Piensa que cada uno lanza la bola perpendicularmente al movimiento del otro, de modo que, en el dibujo, Ana y Alberto seguirían moviéndose uno hacia el otro y las bolas se moverían a su misma velocidad “horizontalmente” y a la vez hacia la trayectoria del otro, de modo que al final se tocasen, volvieran a bajar mientras siguen moviéndose horizontalmente al mismo ritmo que sus lanzadores y, al final, volvieran a las manos de uno y otro.

Pero analicemos lo que ve uno de los dos, por ejemplo, Ana. Lo que ella ve que hace su pelota (considerándose a sí misma en reposo y a Alberto moviéndose en línea recta) es lo siguiente:

Su bola ha sido lanzada a una velocidad (la que sea) perpendicularmente a la trayectoria de Alberto. La bola de Alberto, por otro lado, va en una dirección oblicua: tiene una velocidad hacia la izquierda que es la de Alberto, y otra hacia abajo que es la que Alberto le ha dado. (Por cierto, el dibujo no es muy bueno pero la bola de Alberto debería ir hacia la izquierda al mismo ritmo que él, no por delante).

Pero cuando Ana mira a Alberto y su bola, todo pasa más despacio. Si recuerdas la entrada acerca de la dilatación del tiempo, cuando Ana mire la bola de Alberto bajar, la bola irá más despacio que en el sistema de referencia de Alberto, porque el tiempo de Alberto (y su bola, que se mueve hacia la izquierda a su misma velocidad) es más lento que el de Ana. De modo que, en el sistema de referencia de Ana, la bola de Alberto baja más despacio de lo que sube la suya propia.

Fíjate en lo que sucede en la colisión entre ambas bolas: Ana ve la suya subir rápido y la de Alberto bajar despacio, y a ambas bolas chocar, y luego su propia bola bajar y la de Alberto subir, volviendo por donde vinieron con las mismas velocidades que tenían.

Pero, si recuerdas cómo funcionan los choques elásticos, piensa un momento: dos bolas de billar chocan la una contra la otra. Una bola va, por ejemplo, el doble de rápido que la otra pero, sin embargo, después de chocar se vuelven a ir cada una a la misma velocidad a la que vino. La única posibilidad es que la bola que iba la mitad de rápido tiene el doble de masa, de modo que compensa la diferencia de velocidad y al final ambas vuelven igual que vinieron.

Dicho de otra manera: si dos bolas iguales chocan y una va más rápido que la otra, “gana” la que va más rápido. De igual manera, si una bola es más pesada que otra y ambas van igual de rápido, “gana” la más pesada. Pero si una va más lenta que la otra y ninguna “gana”, es que la lenta tiene más masa que la ligera.

Es decir: visto desde Ana, la bola de Alberto baja a la mitad de velocidad que la suya pero, como tiene el doble de masa, al chocar cada una se vuelve como vino. Por supuesto, visto desde Alberto es la bola de Ana la que tiene el doble de masa y va a la mitad de velocidad…

La consecuencia más importante de este hecho es la siguiente: supongamos que, una vez han intercambiado las bolas, Alberto decide ir muy, muy rápido, y empieza a acelerar. Lo que vería Ana sería lo siguiente:

Alberto empieza a ir más rápido. Supongamos que iba a una velocidad de 200.000 km/s y acelera hasta 210.000 km/s. Ana verá que el tiempo de Alberto, que ya iba más lento que el suyo, es ahora más lento aún. Además, vería que Alberto se achata en la dirección del movimiento y que su masa aumenta. Hasta aquí, ningún problema.

Pero digamos que Alberto sigue acelerando, y pasa de 210.000 km/s a 220.000 km/s. Ana lo verá aún más “en cámara lenta”, y más contraído, pero lo importante en lo que concierne a este artículo: Alberto debe haber gastado más energía para acelerar de 210.000 a 220.000 km/s que lo que gastó para pasar de 200.000 km/s a 210.000 km/s. ¿Por qué? Porque a 210.000 km/s su masa es más grande que a 200.000 km/s, de modo que le cuesta más acelerar. El efecto se hace más y más extremo hasta que el aumento de masa se hace infinito cuando la velocidad se acerca a la de la luz.

Por ejemplo, imagina que gastas cierta cantidad de energía para acelerar de 250.000 km/s a 280.000 km/s. Si vuelves a gastar la misma energía, aceleras menos: sólo llegas a 289.000 km/s. Y si vuelves a gastar la misma energía, llegas a 293.000 km/s. Si lo sigues haciendo, cada vez que gastas la misma energía aceleras un poco menos: 295.000 km/s, 296.000 km/s… de modo que nunca, jamás, podrías alcanzar la velocidad de la luz.

De hecho, da igual con qué energía empieces acelerando el primer tramo: cuanto más aceleres al principio, mayor será tu masa, de modo que más te costará acelerar…al final, la energía total para poder alcanzar la velocidad de la luz es infinita. De manera que, para cualquier cuerpo material, es imposible lograrlo.

Esta idea de que cuando aumenta tu energía (por ejemplo, tu energía cinética al acelerar) aumenta tu masa, es decir, la equivalencia de masa y energía, tiene su expresión más famosa en la fórmula E = mc2 que seguramente has visto en camisetas.

Espero que la cabeza no te dé vueltas y estés ansioso por continuar - lo haremos, en la próxima entrega, con la adición de velocidades.

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Antes de comenzar, recomiendo a todo el mundo que lea el capítulo anterior, de lo contrario, no será capaz de entender este ni ninguno de los que vendrán a continuación.

En este artículo vamos a centrarnos en una consecuencia inmediata de los postulados de Einstein: lo que suele llamarse “dilatación del tiempo”. Para ello, vamos a realizar un experimento mental en el que, por supuesto, van a participar Ana y Alberto, nuestros “observadores relativistas” ficticios.

Supongamos que Ana y Alberto se encuentran en el vacío del espacio, lejos de cualquier otro objeto, y que se mueven uno respecto al otro a velocidad constante. De acuerdo con los postulados que enunciamos en el Capítulo 1, no tiene sentido preguntar si el que se mueve es Alberto y Ana está parada o es al revés. Simplemente, se mueven uno respecto al otro.

Por cierto, ten en cuenta una cosa: en la realidad, muchos sistemas de referencia no son inerciales (no se mueven a velocidad constante o están en reposo), de modo que sí se sabe quién se mueve. Si, por ejemplo, Ana empieza a acelerar hasta que se mueve a determinada velocidad respecto a Alberto, que nunca ha acelerado, lo que decimos sería cierto, pero entonces los dos sabrían que el que “tiene razón” es Alberto, pues es Ana la que ha empezado a moverse. El “no saber quién se mueve y quién no” sólo sirve si los dos sistemas son inerciales.

Lo que vamos a demostrar con este experimento mental es que, si aceptamos los dos postulados de Einstein, inevitable y lógicamente se deduce que Ana y Alberto no miden el tiempo igual.

En nuestro experimento, Ana tiene un reloj que funciona de la siguiente manera: consta de dos espejos paralelos separados una distancia determinada, y un rayo de luz que rebota de espejo en espejo indefinidamente. Cada vez que el rayo rebota en un espejo es un “tic” del reloj. Esto es lo que hace el reloj en el sistema de referencia de Ana:

Y puesto que la luz va a 300.000 km/s y la distancia entre los espejos es fija, todos los “tics” tardan el mismo tiempo. Pongamos que el rayo de luz recorre el espacio entre los espejos en 1 segundo. Entonces, los “tics” del reloj se repiten cada segundo.

Pero ahora fijémonos en lo que observa Alberto en su sistema de referencia. Para él, Ana se está moviendo. Supongamos que Alberto observa lo que le ocurre a Ana cuando ésta pasa justo delante de él, de modo que él la ve moverse “de izquierda a derecha”. Lo que ve Alberto que hace el rayo de luz en el reloj no es lo mismo que ve Ana, pues los espejos se mueven. Alberto ve esto:

Y aquí está el núcleo del asunto - si entiendes lo que voy a decir, entiendes lo básico de la Teoría de la Relatividad Especial. Alberto ve que el rayo de luz recorre una distancia más grande que la que separa los espejos. Con lo cual sólo hay dos posibilidades: o el rayo viaja más rápido, o tarda más tiempo. Pero el rayo no puede ir más rápido: el segundo postulado dice que siempre va exactamente a 300.000 km/s….de modo que es inevitable: ¡¡el rayo tarda más en ir de espejo a espejo!!.

Piensa sobre las consecuencias de este hecho: si el rayo tarda más en rebotar de espejo a espejo, en el sistema de referencia de Alberto, el reloj de Ana no hace “tic” cada segundo: va más lento.

Pero no es sólo el reloj - el reloj mide el tiempo…el tiempo de Ana, visto desde Alberto, está yendo más despacio: se “dilata”. Puedes pensar que otros relojes que no utilizasen la luz siguieran al mismo ritmo de antes, pero entonces, ¿habría cosas que Alberto vería moverse a velocidad normal y otras no? Si, por ejemplo, Alberto y Ana se ponen de acuerdo para que Ana toque su nariz cada vez que el reloj hace “tic”, ¿vería Alberto a Ana tocarse la nariz sin que el reloj hiciera “tic”?

Puedes verlo de otra manera: las interacciones entre las partículas que constituyen a Ana se producen a la velocidad de la luz. Si el tiempo del reloj va más lento porque la luz debe recorrer más distancia, lo mismo ocurre con todas las demás interacciones que se producen, es decir, no sólo el reloj, sino todo lo demás va más lento, incluída Ana y, por ejemplo, los latidos de su corazón.

Por supuesto, si Alberto tuviera un reloj igual que hace “tic” cada segundo en su sistema de referencia, Ana observaría que el reloj de Alberto hace “tic” más lento…y Alberto observaría que es el de Ana el que va más lento. ¿Quién tiene razón? Los dos…cada uno en su propio sistema de referencia. Como hemos dicho antes, si en un momento dado están quietos el uno respecto al otro y uno de ellos empieza a acelerar, el problema ya no es “simétrico”.

Aunque no vamos a utilizar fórmulas, es fácil entender que, cuanto más rápido se mueva el otro sistema, más lento te parece a ti que pasa el tiempo para él, porque más distancia recorrería el rayo dentro del reloj. De hecho, piensa en el caso extremo: si Ana se estuviera moviendo a la velocidad de la luz….¡el rayo del reloj nunca jamás podría alcanzar la otra pared! La pared se estaría moviendo a la misma velocidad que el rayo, de modo que el “tic” no se produciría jamás.

Si ocurriera esto, Alberto vería a Ana “congelada” en el tiempo: su corazón no latiría, el reloj no mediría el paso de un solo segundo….el tiempo se habría parado, para Ana, vista desde el sistema de referencia de Alberto. Esto es lo que le pasa a los fotones (las partículas que componen las radiaciones electromagnéticas como la luz): como se mueven a 300.000 km/s, vistas desde nuestro sistema de referencia no cambian jamás…el tiempo no pasa para ellos.

Espero haberos abierto el apetito de Relatividad y que os leais las próximas entregas. Un saludo relativo a todos!!!

Basado en una serie análoga de El Tamiz

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